Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN.

（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我们可得结论：AB+AD=AC；

在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

【解】

（2）在图3中：（只要填空，不需要证明）.

①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=      AC；

②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=        AC（用含α的三角函数表示）。

 

Answer 1

【答案】

（1）成立，证明如下；（2），.

【解析】

试题分析：（1）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．

试题解析：（1）仍成立．

证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F

∵AC平分∠MAN

∴CE=CF

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°

∴∠CDE=∠ABC

又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）

∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF

∴AE+AF=AC

∴AD+AB=AC

（2），.

考点: (1)角平分线的性质；（2）全等三角形的判定与性质；（3）含30度角的直角三角形．