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17.如图,在△ABC中,∠ACB=111°,AC边上的垂直平分线交AB于点D,交AC边于点E,连接CD.
(1)若AB=15,BC=8,求△BCD的周长;
(2)若AD=BC,试求∠A的度数.

分析 (1)根据线段垂直平分线的性质,可得CD的长,根据三角形的周长公式,可得答案;
(2)根据线段垂直平分线的性质,可得CD的长,根据等腰三角形的性质,可得∠B与∠CDB的关系,根据三角形外角的性质,可得∠CDB与∠A的关系,根据三角形内角和定理,可得答案.

解答 解:(1)∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD.
∵C△BCD=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB,
又∵AB=15,BC=8,
∴C△BCD=23;
(2)∵AD=CD
∴∠A=∠ACD,设∠A=x,
∵AD=CB,
∴CD=CB,
∴∠CDB=∠CBD.
∵∠CDB是△ACD的外角,
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2x,
∵∠A、∠B、∠ACB是三角形的内角,
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴x+2x+111°=180°,
解得x=23°
∴∠A=23°.

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质,(1)利用线段垂直平分线的性质得出DC与AD的关系,把三角形的周长转化成AB+BC是解题关键,(2)利用等腰三角形的性质,三角形外角的性质得出∠B与∠A的关系是解题关键.

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