Question

17．如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=12，AC=15，△ABC的面积S_△ABC=84．
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，（当点 D与A重合时，我们认为S_△ABD=0）．
（1）用含x、m或n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

Answer 1

分析 探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，可得AH=12，BH=5，则CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S_△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，n=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，再根据S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于$\frac{56}{5}$且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．

解答 探究：
解：∵在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{BH}{AB}$=$\frac{5}{13}$，
∴BH=5，
∴AH=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴HC=9，AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12×14=84；
故答案为：12，15，84；
拓展：
解：（1）由三角形面积公式得出：S_△ABD=$\frac{1}{2}$mx，S_△CBD=$\frac{1}{2}$nx；
（2）∵m=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，n=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴m+n=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{168}{x}$，
∵AC边上的高为：$\frac{2{S}_{△ABC}}{15}$=$\frac{2×84}{15}$=$\frac{56}{5}$，
∴x的取值范围为：$\frac{56}{5}$≤x≤14，
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴x=$\frac{56}{5}$时，（m+n）的最大值为：15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；
（3）x的取值范围是x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14，
发现：
解：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为 $\frac{56}{5}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，本题综合性较强，有一定难度．