Question

我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y₁（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y₂（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y₁与t的变化规律，写出y₁与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y₂与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

Answer 1

分析：（1）由图标可知y₁与t之间是二次函数关系．设y₁=a（t-0）（t-30），把已知坐标代入求出解析式；
（2）由函数图象可知y₂与t之间是分段的一次函数，根据t的取值范围不同有不同的函数解析式；
（3）本题考查的是分段函数的有关知识，当0≤t＜20时，y=y₁+y₂=80-

1

5

（t-20）²，求出y的最大值．当20≤t≤30时，y=y₁+y₂=125-

1

5

（t-5）²，亦可求出y的最大值．

解答：解：（1）由图表数据观察可知y₁与t之间是二次函数关系，
设y₁=a（t-0）（t-30）
再代入t=5，y₁=25可得：
a=-

1

5

∴y₁=-

1

5

t（t-30）（0≤t≤30）；

（2）由函数图象可知y₂与t之间是分段的一次函数由图象可知：
0≤t＜20时，y₂=2t，当20≤t≤30时，y₂=-4t+120，
∴y₂=

2t(0≤t＜20) -4t+120(20≤t≤30)

；

（3）当0≤t＜20时，y=y₁+y₂=-

1

5

t（t-30）+2t=80-

1

5

（t-20）²，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80，
当20≤t≤30时，y=y₁+y₂=-

1

5

t（t-30）-4t+120=125-

1

5

（t-5）²，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴右侧，y随t的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80，
故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．

点评：本题考查的是二次函数的应用以及分段函数的相关知识，考生在做此类题时要注意数形结合判断此函数是一次函数还是二次函数．此题难度中等．