Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9， ．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段PA于点E．设BP= x．

（1）求AC的长；

（2）设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．

Answer 1

【答案】（1）9；（2），定义域：0＜x≤3；（3）或

【解析】试题分析：（1）作AH⊥BC于H，根据已知条件和锐角三角函数的定义即可求得BH=2，根据勾股定理求得AH的长，在分局勾股定理求得AC的长即可；(2) 作OI⊥AB于I，联结PO，可得AO=4.5，Rt△AIO中，求得AI=1.5，IO= 3，即可得PI=-x，在Rt△PIO中，根据勾股定理求得 ，又因⊙P与⊙O外切，可得 ，所以-x，因为动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段PA于点E，即可得定义域为0＜x≤3；（3）分①当E与点A不重合时和②当E与点A重合时两种情况求AP的长即可.

试题解析：

（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，

那么

BC=9，HC=9-2=7，，﹒

（2）作OI⊥AB于I，联结PO，AC=BC=9，AO=4.5，

∴∠OAB=∠ABC，

∴Rt△AIO中，，

∴AI=1.5，IO= ，

∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5= ，

∴Rt△PIO中，，

∵⊙P与⊙O外切，∴，

∴= ，

∵动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段PA于点E．∴定义域：0＜x≤3；

（3）由题意得：∵点E在线段AP上，⊙O经过点E，∴⊙O与⊙P相交

∵AO是⊙O半径，且AO＞OI，∴交点E存在两种不同的位置，OE=OA=

①当E与点A不重合时，AE是⊙O的弦，OI是弦心距．∵AI=1.5，AE=3，∴点E是AB中点，，，，IO=

，

②当E与点A重合时，点P是AB中点，点O是AC中点，，

∴或．