Question

【题目】如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知sinA＝，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线．

（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．

解：（1）连接OE．

∵OB＝OE

∴∠OBE＝∠OEB

∵BE是∠ABC的角平分线

∴∠OBE＝∠EBC

∴∠OEB＝∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C＝90°

∴∠AEO＝∠C＝90°

∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OF．

∵sinA＝，∴∠A＝30°

∵⊙O的半径为4，∴AO＝2OE＝8，

∴AE＝，∠AOE＝60°，∴AB＝12，

∴BC＝AB＝6，AC＝6，

∴CE＝AC﹣AE＝2．

∵OB＝OF，∠ABC＝60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB＝60°，CF＝6﹣4＝2，∴∠EOF＝60°．

∴S梯形OECF＝（2+4）×2＝6．

S扇形EOF＝，

∴S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF＝．