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10.如图,反比例函数y=$\frac{n}{x}$(n为常数,n≠0)的图象与一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象在第一象限内交于点C(2,m),一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点.已知tan∠ABO=$\frac{2}{3}$,AB=2$\sqrt{13}$.
(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式;
(2)若点P在x轴上且使得△PCD面积为△ABO面积的3倍,求满足条件的P点坐标.

分析 (1)设OA=2x,则OB=3x,在Rt△ABO中,由勾股定理得出方程(2x)2+(3x)2=(2$\sqrt{13}$)2,解方程得出OA=2x=4,OB=3x=6,得出A(-4,0),B(0,6);由待定系数法求出一次函数解析式;求出C(2,9),代入反比例函数y=$\frac{n}{x}$求出n=18,得出反比例函数解析式即可;
(2)求出△ABO的面积=12,得出△PCD的面积=36,解方程组求出点D(-6,-3),设点P的横坐标为x,分两种情况:①当点P在点A的右侧时;②当点P在点A的左侧时;由△PCD的面积=△APD的面积+△APC的面积得出方程,解方程即可.

解答 解:(1)∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$,
∴设OA=2x,则OB=3x,
在Rt△ABO中,由勾股定理得:(2x)2+(3x)2=(2$\sqrt{13}$)2
解得:x=±2(负值舍去),
∴OA=2x=4,OB=3x=6,
∴A(-4,0),B(0,6);
代入一次函数y=kx+b得:$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$,
解得•:$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$,
∴一次函数的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+6;
把点C(2,m)代入得:m=9,
∴C(2,9),
代入反比例函数y=$\frac{n}{x}$得:n=2×9=18,
∴反比例函数解析式为y=$\frac{18}{x}$;
(2)∵△ABO的面积=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×4×6=12,△PCD面积为△ABO面积的3倍,
∴△PCD的面积=3×12=36,
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+6}\\{y=\frac{18}{x}}\end{array}\right.$得:$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-3}\end{array}\right.$,
∴D(-6,-3),
设点P的横坐标为x,
分两种情况:①当点P在点A的右侧时,
△PCD的面积=△APD的面积+△APC的面积=$\frac{1}{2}$(x+4)×3+$\frac{1}{2}$(x+4)×9=36,
解得:x=2,
∴点P的坐标为(2,0);
②当点P在点A的左侧时,
△PCD的面积=△APD的面积+△APC的面积=$\frac{1}{2}$(-4-x)×3+$\frac{1}{2}$(-4-x)×9=36,
解得:x=-10,
∴点P的坐标为(-10,0);
综上所述:点P的坐标为(2,0)或(-10,0).

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点、用待定系数法求函数解析式、三角函数、勾股定理、三角形面积的计算等知识;熟练掌握勾股定理,求出点A和B的坐标是解决问题的关键;注意(2)中要分类讨论.

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