Question

10．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB=$\frac{3\sqrt{3}+12}{2}$（结果保留根号）

Answer 1

分析 作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF-BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．

解答 解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$，
则CF=$\frac{AF}{tan∠ACF}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），
在直角△ABF中，tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$，
则BE=$\frac{AB}{tan∠AEB}$=$\frac{x+4}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）米．
∵CF-BE=DE，即$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）=3．
解得：x=$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$，
则AB=$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$+4=$\frac{3\sqrt{3}+12}{2}$（米）．
答：树高AB是$\frac{3\sqrt{3}+12}{2}$米．
故答案是：$\frac{3\sqrt{3}+12}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．