Question

小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是             ；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是            ；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是               ；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．
我选图     来证明．

 

Answer 1

（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）证明见解析．

试题分析：（1）①根据题意知∠AME+∠ABC=180°，再利用角平分线的性质得∠AMF+∠ABD=90°,而∠AMF+∠AFM=90°,从而∠AFM=∠ABD，即BD∥MF；
②易证∠AME=∠ABC,由MF、BD分别是∠AME、∠ABC的平分线，可知∠AMF=∠ABD．而∠ABD+∠ADB=90°，所以∠AMF+∠ADB=90°，故BD⊥MF；
③方法同（2）；
(2)分析同（1）．
(1)BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；
(2)（1）BD∥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，
∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，
又∵∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠ABD=∠AFM，
∴BD∥MF；
（2）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠AMF+∠ADB=90°，
∴BD⊥MF；
（3）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠AMF+∠F=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，
∴BD⊥MF