Question

12．如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，点G恰好在矩形ABCD的对角线AC上，延长BG交CD于F，连接EF．求$\frac{BE}{EF}$的值．

Answer 1

分析 连接EF，DG，由折叠的性质得到AE=GE，∠BGE=∠BAE=90°，根据已知条件得到△ADG是直角三角形，于是得到∠DGC=∠GD=∠EDF=90°，根据全等三角形的性质得到GF=DF，由等腰三角形的性质得到∠DGF=∠GDF，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AC，设DF=x，BC=y，则GF=x，AD=Y，根据勾股定理列方程y²+x²=（3x）²，求得y=2$\sqrt{2}$x，根据对称的性质得到AG⊥BE，∠ABE=∠GBE，∠AEB=GEB，通过△EGF∽△BGE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接EF，DG，由折叠的性质得：AE=GE，∠BGE=∠BAE=90°，
∵点E为AD的中点，
∴GE=AE=DE，
∴△ADG是直角三角形，
∴∠DGC=∠GD=∠EDF=90°，
在△RtDEF与Rt△GED中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{EG=ED}\end{array}\right.$，
∴△RtDEF≌Rt△GED，
∴GF=DF，
∴∠DGF=∠GDF，
∴GF=CF，DF=CF，
∴EF∥AC，
设DF=x，BC=y，则GF=x，AD=Y，
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2，
∴BF=BG+GF=3x，
在Rt△BCF中，
BC²+CF²=BF²，
即y²+x²=（3x）²，
∴y=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{y}{2x}=\frac{2\sqrt{2}x}{2x}=\sqrt{2}$，
∵A，G关于线段BE对称，
∴AG⊥BE，∠ABE=∠GBE，∠AEB=GEB，
∵∠ABE+∠AEB=∠DAC+∠AEB=90°，
∴∠GBE=∠DAC=∠DEF=∠FEG，
∴∠BEF=∠FEG+∠BEG=∠ABE+AEB=90°，
∴BE⊥EF，
∵EG⊥BG，
∴△EGF∽△BGE，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{EG}{FG}=\frac{AD}{DF}=\frac{\frac{1}{2}AD}{\frac{1}{2}CD}=\frac{AD}{CD}=\frac{AD}{AB}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等腰，熟练掌握各定理是解题的关键．