Question

（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x-2）²+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；
（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，

9

4

），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=

9

4

，N′P=AQ=3，将y=-

9

4

代入得：-

9

4

=-

3

4

x²+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．

解答：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+3，
将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=-

3

4

，
则抛物线解析式为y=-

3

4

（x-2）²+3=-

3

4

x²+3x；

（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：

4k+b=0 b=3

，
解得：

k=- 3 4 b=3

，
故直线AC解析式为y=-

3

4

x+3，
与抛物线解析式联立得：

y=- 3 4 x+3 y=- 3 4 x2+3x

，
解得：

x=1 y= 9 4

或

x=4 y=0

，
则点D坐标为（1，

9

4

）；

（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，

9

4

），即DM=2，故AN=2，
∴N₁（2，0），N₂（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：

过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=

9

4

，NP=AQ=3，
将y_M=-

9

4

代入抛物线解析式得：-

9

4

=-

3

4

x²+3x，
解得：x_M=2-

7

或x_M=2+

7

，
∴x_N=x_M-3=-

7

-1或

7

-1，
∴N₃（-

7

-1，0），N₄（

7

-1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（-

7

-1，0），N₄（

7

-1，0）．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．