Question

13．如图，抛物线y=（1-m）x²+4x-3的开口向下，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁≤x₂
（1）求m的取值范围；
（2）当x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10时，求抛物线的解析式：
（3）点C为抛物线的顶点，当△ABC为等腰直角形时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；
（2）根据x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10和根与系数的关系可以得到m的值，从而可以求得此抛物线的解析式；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可以得到m的值，从而可以求得相应的抛物线的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=（1-m）x²+4x-3的开口向下，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁≤x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜0}\\{{4}^{2}-4×（1-m）×（-3）≥0}\end{array}\right.$，
解得，1＜m$≤\frac{7}{3}$，
即m的取值范围是：1＜m$≤\frac{7}{3}$；
（2）∵（1-m）x²+4x-3=0时，两根为x₁，x₂，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{1-m}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-3}{1-m}$，
∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=10，
即$（-\frac{4}{1-m}）^{2}-2×\frac{-3}{1-m}$=10，
解得，${m}_{1}=-\frac{5}{3}$（舍去），m₂=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x-3；
（3）∵点C为抛物线的顶点，△ABC为等腰直角形，
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}=\frac{4（1-m）×（-3）-{4}^{2}}{4×（1-m）}$，
∵$（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}$，
即$（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}=（-\frac{4}{1-m}）^{2}-4×\frac{-3}{1-m}$，
∴${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{2\sqrt{7-3m}}{m-1}$，
∴$\frac{\sqrt{7-3m}}{m-1}=\frac{4（1-m）×（-3）-{4}^{2}}{4×（1-m）}$，
解得，${m}_{1}=\frac{7}{3}$，m₂=1（舍去），
∴m=$\frac{7}{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=$（1-\frac{7}{3}）{x}^{2}+4x-3$=$-\frac{4}{3}{x}^{2}+4x-3$，
即抛物线的解析式为：y=$-\frac{4}{3}{x}^{2}+4x-3$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、用待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，明确二次函数的性质．