如图.ABCD是一张矩形纸片.AD=BC=1,AB=CD=．在矩形ABCD的边AB上取一点M.在CD上取一点N.将纸片沿MN折叠.使MB与DN交于点K.得到△MNK．(1)若∠1=70°.求∠MKN的度数．(2)△MNK的面积能否小于?若能.求出此时∠1的度数,若不能.试说明理由．(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况.求出最大值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=

．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．
（2）△MNK的面积能否小于

？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值及∠1的度数。

解：（1）∵ABCD是矩形，∴AM∥DN，

∴∠KNM=∠1．    ∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MKN=40°．  （2分）
（2）不能．                            （3分）
由折叠∠1=∠NMK,又DN∥AM, ∠MNK=∠1,于是∠MNK=∠NMK，所以KN="KM," △MNK的面积=

KN=

,所以KM最小值为1，即KM⊥AM,所以∠MNK=∠1=45°，此时△MNK的面积最小为

，所以此三角形面积不能小于

（5分）
（3）△MNK的面积最大,只需KN最大，又KN=KM最大，于是可以有两种方法折叠，如图，
情形1，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与点D 重合，设MK=MD=x,则AM=

- x,由勾股定理，得

，
1+

,所以

Sin∠AMD=

∠AMD=45°, ∠1=67.5° （8分）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK= CK=x，则DK=

-x，同理可得
即MK=NK=

∴

Sin∠AKD=

, ∠AKD=45°, ∠1=22.5°
∴△MNK的面积最大值为

,∠1=67.5°或22.5° （10分）

利用折叠的性质求解

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