Question

6．已知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M．
（1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是PB=2CM；
（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图③，若$\frac{AC}{BC}=\frac{5}{2}$，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．

Answer 1

分析 解法一、（1）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质再用中位线即可；
（2）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质，再用中位线即可；
（3）同（1）（2）的方法作出辅助线，利用平行线中的基本图形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面积公式即可．
解法二、（1）先判断出△AQN≌△PAC，进而判断出△QNM≌△BCM即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△AQN≌△PAC，再判断出△BCM∽△QNM，进而求出MN，最后同解法一即可求出面积

解答 解法一：（1）如图1，

将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
连接BB'，
∵AC⊥BC，
∴点C在BB'上，且CB'=CB，
依题意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
故答案为：BP=2CM；
（2）BP=2CM仍然成立，
理由：如图2，

将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
连接BB'，
∵AC⊥BC，
∴点C在BB'上，且CB'=CB，
依题意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
（3）如图3，

设BC=2x，则AC=5x，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，
∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'
延长BC交C'Q于N，
∴四边形ACNC'是正方形，
∴C'N=CN=AC=5x，
∴BN=CN+BC=7x
∵CM∥QN，
∴$\frac{CM}{QN}=\frac{BC}{BN}$
∵CM=2，
∴$\frac{2}{QN}=\frac{2x}{7x}$
∴QN=7，
∴BP=B'Q=C'N+QN-B'C'=5x+7-2x=3x+7，
∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，
在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，
根据勾股定理得，（5x）²+（5x+7）²=13²
∴x=1或x=-$\frac{12}{5}$（舍），
∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP×AC=$\frac{1}{2}$×10×5=25，
解法二，

（1）如图1，过点Q作QN⊥AM于N，
易证，△AQN≌△PAC，
∴AN=CP，QN=AC，
∵∠QNM=∠BCM，∠NMQ=∠CMB，
∴△QNM≌△BCM，
∴MN=CM，
∴BP=BC-CP=AC-AC=CN=2CM，
（2）如图2，过点Q作QN⊥AM于N，
同（1）的方法，得出BP=2CM，
（3）如图3，过点Q作QN⊥AM于N，
设AC=5x，BC=2x，
同（1）的方法得出，△AQN≌△BAC，
∴QN=AC=5x，AN=CP，
易得，△BCM∽△QNM，
∴$\frac{BC}{QN}=\frac{CM}{MN}$，
∴$\frac{2x}{5x}=\frac{2}{MN}$，
∴MN=5，
∴CP=AN=AC+CM+MN=5x+2+5=5x+7，
在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，
根据勾股定理得，（5x）²+（5x+7）²=13²
∴x=1或x=-$\frac{12}{5}$（舍），
∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP×AC=$\frac{1}{2}$×10×5=25，

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，旋转的性质，中位线的性质，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．