Question

已知抛物线M：y=-x²+2mx+n（m，n为常数，且m＞0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线N与抛物线M关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．
问抛物线M上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
说明：
（1）如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；
（2）在你完成（1）之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答（选取①得7分；选取②得10分）．
①n=1；②n=2．

Answer 1

分析：可假设存在这样的P点，根据四边形ABCP是菱形，可得出AB=BC=AP，根据抛物线的对称性可得出AC=AP，因此AC=AP=PC，三角形ACP为等边三角形，可根据抛物线M的坐标求出A、C的坐标，如果连接CP，过A作x轴的垂线，垂足为D，交CP于E；那么根据C、A的坐标，即可求出CE、AE的长，然后根据∠ACE=60°，用三角函数即可得出关于m的方程，进而可求出m的值．

解答：解：假设抛物线M上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，连接CP，作AD⊥x轴于D，交CP于E，
则AD为抛物线M的对称轴，且PC=AB=BC=AP
∵由抛物线的对称性可得AC=AP，
∴AP=PC=AC．
从而△APC为等边三角形
∴∠ACE=60°
∵由抛物线M配方得，y=-x²+2mx+n=-（x-m）²+m²+n
点A、C的坐标分别为A（m，m²+n）、C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=m．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

m

=

3

∴|m|=

3

∵m＞0
∴m=

3

∴抛物线M上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m=

3

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，轴对称图形以及菱形的性质等知识点．根据抛物线的对称性得出三角形ACP是等边三角形是解题的关键．