Question

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，连接AC，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点．点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P运动到OC上时，设点P的移动时间为t秒，当PQ⊥AC时，求t的值；
（3）当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．

Answer 1

（1）∵矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，
∴B点坐标为：（4，-2），
∴将A，B两点代入y=x²+bx+c得：

c=-2 16+4b+c=-2

，
解得：

b=-4 c=-2

，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x-2；

（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜

9

7

时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴

QA

AB

=

AP

BC

，即

7t-7

4

=

t

2

，
∴t=

7

5

．
∵

7

5

＞

9

7

，
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，

9

7

≤t＜

13

7

时，
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴

QD

AB

=

DP

BC

，即

2

4

=

9-6t

2

，
∴t=

4

3

，
∵

9

7

＜

4

3

＜

13

7

，
∴t=

4

3

符合题意．
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，

13

7

≤t≤

15

7

时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=

4

3

时，有PQ⊥AC．

（3）当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，
∴

4-t

4

=

8-7(t-1)

2

，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H₁为对称轴与OP的交点时，
有∠H₁OQ=∠POQ，
∴当y_H＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=

17

，
∵S_△OPQ=S_{四边形ABCO}-S_△AOP-S_△COQ-S_△QBP=3=

1

2

OQ×PM，
∴PM=

6 17

17

，
∴PP′=2PM=

12 17

17

，
∵∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴

CQ

OQ

=

P′N

PP′

，
∴P′N=

12

17

，PN=

48

17

，
∴P′（

46

17

，

14

17

），
∴直线OP′的解析式为y=

7

23

x，
∴OP′与NP的交点H₂（2，

14

23

）．
∴当y_H＞

14

23

时，∠HOP＞∠POQ．
综上所述，当y_H＜-2或y_H＞

14

23

时，∠HOQ＞∠POQ．