Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．

⑴求证：CE＝CF；
⑵若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

Answer 1

（1）见解析；（2）成立。

解析试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证GE=BE+GD成立．
⑴证明：在正方形ABCD中，
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE＝CF．
⑵解：GE＝BE＋GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG＝GF．
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．
考点：本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质
点评：证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．