Question

18．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF=BE+CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE=ED，CF=FD即可．
（2）与（1）方法相同．

解答 （1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠DCB=∠FCD．
又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=ED，CF=FD，
∴EF=ED+DF=BE+CF．
即：EF=BE+CF．
（2）不成立．EF=BE-CF．理由如下（如图）：

∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线
∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCG
∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCG，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，DF=CF，
∴EF=BE-CF．

点评 本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形判定与性质等问题，解题的关键是上述知识点的综合应用．