Question

6．在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC内一点，且CP=$\sqrt{2}$，BP=AP=2，以点C为直角顶点，CP为直角边，作如图的等腰Rt△DCP，有如下4个结论：①点A与D的距离为2；②∠CPB=105°；③AB=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$；④S_△APB=2，其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①如图，作辅助线；证明△ACD≌△BCP，得到AD=PB=2，故①正确；
②证明△ADP是等边三角形，得到∠ADB═60°，进而证明∠ADC=105°，结合三角形全等可知：∠BPC=∠ADC=105°，得到②正确；
③运用②的结论可得AC的长，从而可以计算AB的长；
④根据面积差计算可得结论．

解答 解：①如图，连接AD，
∵∠DCP=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCP，
∵△ACB和△DCP都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=PC，
在△ACD与△BCP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DC=PC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=PB=2，
故①正确；
②∵CP=$\sqrt{2}$，且△DCP是等腰直角三角形，
∴DP=2，
∵AD=AP=2，
∴AD=AP=DP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP=60°，
∴∠ADC=60°+45°=105°，
∵△ACD≌△BCP，
∴∠CPB=∠ADC=105°，
故②正确；
③在△ADC和△APC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AP}\\{DC=PC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△APC，
∴∠DAC=∠PAC，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAC=30°，
∵∠APD=60°，
∴∠AEP=90°，
∵AP=2，
∴PE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴CE=EP=1，
∴AC=1+$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$（1+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
故③正确；
④S_△APB=S_△ABC-S_△ACP-S_△BPC，
=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+1）²-$\frac{1}{2}$×$（\sqrt{3}+1）$×1-$\frac{1}{2}$×$（\sqrt{3}+1）$×1，
=1，
∴S_△ABP=1，
故④不正确，
本题正确的有：①②③；
故选A．

点评 该题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点；作辅助线，证明△ACD≌△BCP是解题的关键．