Question

以x为自变量的二次函数y＝－x²＋(2m＋2)x－(m²＋4m－3)中，m为不小于0的整数，函数图象与x轴交于A，B两点，点A在原点左边，点B在原点右边．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，与这个二次函数交于点C，且S_△ABC＝10，求一次函数的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵二次函数y＝－x2＋(2m＋2)x－(m2＋4m－3)与x轴有两个不同的交点， 　　∴方程x2－(2m＋2)x＋(m2＋4m－3)＝0有两个不等的实数根， 　　∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋4m－3)＞0，即m＜2． 　　又∵m是不小于0的整数， 　　∴m＝1，或m＝0． 　　当m＝0时，二次函数为y＝－x2＋2x＋3， 　　它的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，符合题意． 　　当m＝1时，二次函数为y＝－x2＋4x－2， 　　它的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(2－，0)，(2＋，0)， 　　这两个点都在原点右边，不合题意，∴m＝1舍去． 　　故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝3－(－1)＝4． 　　设C点坐标为(x0，y0)，则S△ABC＝AB·|y0|＝2|y0|＝10，解得|y0|＝5． 　　∵抛物线y＝－x2＋2x－3开口向下，顶点坐标为P(1，4)．∴y0＝－5． 　　又∵点C在抛物线上，∴－5＝－＋2x0＋3，即－2x0－8＝0． 　　解得x0＝－2，或x0＝4，∴点C的坐标为(－2，－5)或(4，－5)． 　　∴一次函数的图象过A(－1，0)，C(－2，5)的解析式为y＝5x＋5， 　　图象过A(－1，0)，C(4，－5)的解析式为y＝－x－1． 　　分析：(1)要求二次函数的解析式，就需确定m的值，由于该函数图象与x轴有两个不同的交点，所以对应的一元二次方程的Δ＞0，再注意到这两个交点的位置及m是非负整数的条件，便可确定m．(2)由于一次函数y＝kx＋b经过点A，所以只需求出另一交点C的坐标，为此应注意条件S△ABC＝10．