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13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC中点,点E,F分别在AB,AC上,且AF=BE,试判断△DEF的形状,并证明你的结论.

分析 根据直角三角形性质和等腰三角形性质求出∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°,AD⊥BC,证△EBD≌△FAD,推出DE=DF,∠BED=∠ADF,求出∠EDF=∠ADB=90°,即可得出答案.

解答 解:结论:△DEF是等腰直角三角形,
理由是:连接AD.
∵在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°,AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
在△EBD和△FAD中,
{BD=ADB=FADBE=AFBD=ADB=FADBE=AF
∴△EBD≌△FAD,
∴DE=DF,∠BED=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠EDB=∠ADB=90°,
即△EDF是等腰直角三角形.

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于基础题,中考常考题型.

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