Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，CD、BE分别为△ABC的中线，AF⊥CD，AG⊥BE，分别交CD、BE的延长线于F、G两点，试问：
（1）AF与AG相等吗？为什么？
（2）当∠A=90°时，其余条件不变，猜想AF

 

AG（用＞，=，＜填空）．
（3）当∠A＞90°时，其余条件不变，猜想AF

 

AG（用＞，=，＜填空）．
（4）通过本题，你可以得到怎样的结论？请用文字叙述．

Answer 1

分析：（1）根据AB=AC，CD、BE分别为△ABC的中线，利用SAS求证△ADC≌△AEB．再利用AAS求证△ACF≌△ABG即可．
（2）由（1）可得当∠A=90°时，其余条件不变，猜想正确．
（3）由（1）可得当∠A=90°时，其余条件不变，猜想正确，
（4）由前3个猜想成立．可得出结论等腰三角形的顶点到两腰中线所在的直线的距离相等．

解答：解：（1）AF=AG．理由如下：
∵AB=AC，CD、BE分别为△ABC的中线，
∴AD=AE．在△ADC和△AEB中，

AD=AE ∠DAC=∠EAB AC=AB

∴△ADC≌△AEB．
∴∠ACD=∠ABE．
又∵∠AFC=∠AGB=90°，AC=AB，
∴△ACF≌△ABG．
∴AF=AG．
（2）同理可得AF=AG
（3）同理可得AF=AG
（4）等腰三角形的顶点到两腰中线所在的直线的距离相等．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点，难度不大，但步骤繁琐，属于基础题．