Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OA．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD．

∵DA平分∠BDE，

∴∠ODA=∠EDA．

∴∠OAD=∠EDA，

∴EC∥OA．

∵AE⊥CD，

∴OA⊥AE．

∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线

（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四边形AOFE是矩形．

∴OF=AE=8cm．

又∵OF⊥CD，

∴DF= CD=6cm．

在Rt△ODF中，OD= =10cm，

即⊙O的半径为10cm．

【解析】（1）根据等边对等角得出∠ODA=∠OAD，进而得出∠OAD=∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙ O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE=8cm，根据垂径定理得出DF=6cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙ O的半径．