Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．

（1）求∠DAF的度数；

（2）求证：AE2=EFED；

Answer 1

【答案】（1）36°；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；

（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可.

（1）∵AD∥BC，

∴∠D=∠CBD，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，

∴∠AFB=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=×72°=36°，

∴∠D=∠CBD=36°，

∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，

∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，

∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；

（2）∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，

∴∠FAC=36°=∠D，

∵∠AED=∠AEF，

∴△AEF∽△DEA，

∴，

∴AE2=EF×ED.