如图1所示.已知:点A在双曲线C:y=$\frac{a}{x}$上.直线l1:y=-x+2.直线l2与l1关于原点成中心对称.F1(2.2).F2两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B.P是曲线C上第一象限内异于B的一动点.过P作x轴平行线分别交l1.l2于M.N两点．(1)求双曲线C及直线l2的解析式,(2)求证:PF2-PF1=MN=4,(3)如图2所示.△PF1F2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

3．如图1所示，已知：点A（-2，-1）在双曲线C：y=$\frac{a}{x}$上，直线l₁：y=-x+2，直线l₂与l₁关于原点成中心对称，F₁（2，2），F₂（-2，-2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l₁，l₂于M，N两点．
（1）求双曲线C及直线l₂的解析式；
（2）求证：PF₂-PF₁=MN=4；
（3）如图2所示，△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂，PF₁，PF₂三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B两点间的距离公式为AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．）

分析（1）利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l₂上两点的坐标，求出解析式；
（2）设P（x，$\frac{2}{x}$），利用两点距离公式分别求出PF₁、PF₂、PM、PN的长，相减得出结论；
（3）利用切线长定理得出$\left\{\begin{array}{l}{PR=PS}\\{{F}_{1}R={F}_{1}Q}\\{{F}_{2}S={F}_{2}Q}\end{array}\right.$，并由（2）的结论PF₂-PF₁=4得出PF₂-PF₁=QF₂-QF₁=4，再由两点间距离公式求出F₁F₂的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B重合．

解答解：（1）解：把A（-2，-1）代入y=$\frac{a}{x}$中得：
a=（-2）×（-1）=2，
∴双曲线C：y=$\frac{2}{x}$，
∵直线l₁与x轴、y轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（-2，0）、（0，-2），
∴l_2：y=-x-2
（2）设P（x，$\frac{2}{x}$），
由F₁（2，2）得：PF₁²=（x-2）²+（$\frac{2}{x}$-2）²=x²-4x+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{8}{x}$+8，
∴PF₁²=（x+$\frac{2}{x}$-2）²，
∵x+$\frac{2}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}+2-2x}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}+1}{x}$＞0，
∴PF₁=x+$\frac{2}{x}$-2，
∵PM∥x轴
∴PM=PE+ME=PE+EF=x+$\frac{2}{x}$-2，
∴PM=PF₁，
同理，PF₂²=（x+2）²+（$\frac{2}{x}$+2）²=（x+$\frac{2}{x}$+2）²，
∴PF₂=x+$\frac{2}{x}$+2，PN=x+$\frac{2}{x}$+2
因此PF₂=PN，
∴PF₂-PF₁=PN-PM=MN=4，
（3）△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂，PF₁，PF₂三边分别相切于点Q，R，S，
∴$\left\{\begin{array}{l}{PR=PS}\\{{F}_{1}R={F}_{1}Q}\\{{F}_{2}S={F}_{2}Q}\end{array}\right.$，
∵PF₂-PF₁=PS+F₂S-（PR+F₁R）=PS+F₂S-PR-F₁R=F₂S-F₁R=QF₂-QF₁，
由（2）得：PF₂-PF₁=4，
∴QF₂-QF₁=4，
又∵QF₂+QF₁=F₁F₂=4$\sqrt{2}$，QF₁=2$\sqrt{2}$-2，
∴QO=2，
∵B（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴OB=2=OQ，
所以，点Q与点B重合．

点评此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合在一起，注意函数中线段的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

伴你成长周周练月月测系列答案

小升初金卷导练系列答案

萌齐小升初强化模拟训练系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

13．下列分式中，最简分式是（　　）

A．

$\frac{{3{x^2}}}{4xy}$

B．

$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}$

C．

$\frac{x-2}{{{x^2}-4}}$

D．

$\frac{1+x}{{{x^2}+2x+1}}$

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

14．将样本容量为100的样本编制成组号①～⑧的八个组，简况如表所示：

组号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧
频数	14	11	12	13	■	13	12	10

那么第⑤组的频率是（　　）

A．

B．

C．

0.14

D．

0.15

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

11．

△ABC是边长为3等边三角形，点E，点F分别在AC、BC边上，连结AF、BE相交于点P，∠APE=60°．
（1）求证：△APE∽△ACF．
（2）若AE=1，求AP•AF的值．
（3）当P点处于线段BE什么位置时，△APE的面积等于四边形CFPE的面积？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

18．下面计算正确的是（　　）

A．

a⁴•a²=a⁸

B．

b³+b³=b⁶

C．

x⁶÷x²=x³

D．

（y²）⁴=y⁸

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

8．为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）该校七（1）班共有50名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于144度；并补全条形统计图；
（2）A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

15．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．
（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．
①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当Ⅰ的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．