Question

【题目】如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=3，BC=6．现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转90°，点A旋转后的位置为点E，点D旋转后的位置为点F．以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．

（1）求直线AE的解析式；

（2）将Rt△EFC沿x轴的负半轴平行移动，如图③．设OC=x（0＜x≤9），Rt△EFC与Rt△ABO的重叠部分面积为s；求当x=1与x=8时，s的值；

（3）在（2）的条件下s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线AE解析式为：;(2) ①;②;(3) 当时，存在S的最大值，S最大=．

【解析】

试题

（1）由题意易得点A、E的坐标分别为（-6，3）和（3，6），由此设直线AE的解析式为y=kx+b，代入A、E的坐标列出方程组，求得k、b的值即可得到所求解析式；

（2）①如图1，当x=1时，重叠部分为△POC，由此时△POC∽△BOA，结合S△BOA=AB·BO即可求得重叠部分的面积；②如图2，当x=8时，重叠部分是梯形ABFQ，由已知条件计算可得：AB=3、BF=1、FQ=2.5，从而可由梯形面积公式计算出重叠部分的面积；

（3）由画图分析可知，当0＜x≤3与7.5＜x≤9时，不会出现s的最大值；而当3＜x≤6时，由图3可知：当x=6时，s最大；当6＜x≤7.5时，如图4，此时也存在一个区间的最大值，结合图形和已知条件分别求出当3＜x≤6时和6＜x≤7.5时重叠部分面积的最大值，并进行比较，即可得到移动过程中s的最大值及对应的x的值.

试题解析：

（1）AB=3，BC=6，根据旋转的性质可知：A（﹣6，3），E（3，6），

设函数解析式为y=kx+b，

把A（﹣6，3），E（3，6）分别代入解析式得， ，解得： .

∴直线AE解析式为：．

（2）①当x=1时，如图1，重叠部分为△POC，

可得：Rt△POC∽Rt△BOA，

∴ ，由已知条件计算可得：，解得：.

②当x=8时，如图2，重叠部分为梯形FQAB，

由已知条件计算可得：OF=5，BF=1，FQ=2.5，

∴S=(FQ+AB)·BF=(2.5+3)×1=．

（3）

①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤3与7.5＜x≤9时，不会出现s的最大值．

②当3＜x≤6时，由图3可知：当x=6时，s最大．

此时，由已知条件计算可得：S△OBN=，S△OMF= ，

∴S= S△OBN- S△OMF= ．

③当6＜x≤7.5时，如图4，由已知条件计算可得：S△OCN=，S△OFM=，S△BCG=．

∴S=S△OCN﹣S△OFM﹣S△BCG=，

∴S=，

∴当时，S有最大值，S最大=，

综合得：当时，存在S的最大值，S最大=．