Question

19、在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有

190

个．

Answer 1

分析：设三边长为a、b、c满足a≤b≤c，根据最长边与最短边之差不大于2，得出最长边与最短边之差等于0、1或2，（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n；（2）当差为1时，有①a=n，b=n，c=n+1；②a=n，b=n+1，c=n+1；（2）当差为2时，有①a=n，b=n，c=n+2；②a=n，b=n+1，c=n+2；③a=n，b=n+2，c=n+2；从而将各种情况下符合条件的n的值相加可得出结果．

解答：解：设三边长为a、b、c满足a≤b≤c，
∵最长边与最短边之差不大于2，
∴最长边与最短边之差等于0、1或2，
（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n，
此时a+b+c=3n≤100，n可取1，2，…33，共33种方法；
（2）当差为1时，①a=n，b=n，c=n+1；
此时a+b+c=3n+1≤100，n可取2，…33，共32种方法；
②a=n，b=n+1，c=n+1，
此时a+b+c=3n+2≤100，n可取1，2，…32，共32种方法；
（2）当差为2时，有①a=n，b=n，c=n+2，
此时a+b+c=3n+2≤100，n可取3，4，…32，共30种方法；
②a=n，b=n+1，c=n+2；
此时a+b+c=3n+3≤100，n可取2，…32，共31种方法；
③a=n，b=n+2，c=n+2，
此时a+b+c=3n+4≤100，n可取1，2，…32，共32种方法；
综上可得一共可以构成33+32+32+30+31+32=190个．
故答案为：190．

点评：本题考查了三角形的三边关系，从头至尾贯穿了分类讨论的思想，解答本题的关键点在于得出最长边与最短边之差等于0、1或2，然后根据最长边与最短边的差设置三边长，注意一定要兼顾两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，否则会造成多解．