Question

【题目】阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝__________；

（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）EF2＝BE2+FC2．（3）.

【解析】

（1）由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′＝60°，可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形，根据∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根据角的和差关系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可证明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF＝90°，根据勾股定理即可得结论；（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB、BC的长，根据旋转的性质可得∠A′BC=90°，△BOO′是等边三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定义可证明C、O、A′、O′四点共线，利用勾股定理求出A′C的长即可得答案.

（1）∵△ACP′≌△ABP，

∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，

由题意知旋转角∠PAP′＝60°，

∴△APP′为等边三角形，

∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，

∵P′C=PB=4，PC=5，

∴PC2=P′C2+P′P2，

∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，

∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.

故答案为：150°

（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，

由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，

∴∠EAF＝∠E′AF，

在△EAF和△E′AF中，

∴△EAF≌△E′AF（SAS），

∴E′F＝EF，

∵∠CAB＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，

由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，

即EF2＝BE2+FC2．

（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2，

∴BC＝，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，

∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，

∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝2，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，

∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，

∴△BOO′是等边三角形，

∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，

∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，

∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，

∴C、O、A′、O′四点共线，

在Rt△A′BC中，A′C＝，

∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．