Question

9．设x-$\frac{1}{x}$=3，求$\frac{{x}^{10}+{x}^{8}+{x}^{2}+1}{{x}^{10}+{x}^{6}+{x}^{4}+1}$的值．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简整理求出x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=11，两边再平方，求出x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$的值，原式变形后代入计算即可求出值．

解答 解：∵x-$\frac{1}{x}$=3，
∴（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2=9，即x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=11，
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2=121-2=119，
则原式=$\frac{（{x}^{8}+1）（{x}^{2}+1）}{（{x}^{6}+1）（{x}^{4}+1）}$=$\frac{（{x}^{8}+1）（{x}^{2}+1）}{（{x}^{2}+1）（{x}^{4}-{x}^{2}+1）（{x}^{4}+1）}$=$\frac{{x}^{8}+1}{（{x}^{4}+1）（{x}^{4}-{x}^{2}+1）}$=$\frac{{x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}}{（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-1）}$=$\frac{119}{11×10}$=$\frac{119}{110}$．

点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．