Question

如图，点P是锐角△ABC的BC边上的动点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．若∠A=60°，BC=5，△ABC的面积等于10，则DE的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,垂线段最短,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：首先作出P关于AB、AC的对称点P′，P″，利用对称的性质得出，△PP′P″形状不变，大小与AP有关，当DE最小时AP最小，当AP为△ABC的高时，AP最小，进而利用勾股定理求出即可．

解答：解：作P关于AB、AC的对称点P′，P″，
根据题意得出：D为PP′中点，E为PP″中点，AP=AP′，AP=AP″，∠P′AB=∠BAP，∠PAE=∠EAP″，
∴∠P′AP″=2∠BAC=120°，∠AP′P″=30°，
∴△AP′P″形状不变，大小与AP有关，
当DE最小时AP最小，当AP为△ABC的高时，AP最小，
∵BC=5，△ABC的面积等于10，
∴△ABC的高为4，即AP的最小值为4，
∵D为PP′中点，E为PP″中点，
∴DE是△PP′P″中位线，
∵△AP′P″的边P″P′上的高AM为：AM=AP′sin30°=

1

2

AP′=2，
∴P′M=2

3

，
∴P′P″=4

3

，
∴DE=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最值问题，根据已知得出AP最小时DE及最小是解题关键．