Question

13．已知△ABC中，AB=15，AC=13，tanB=$\frac{4}{3}$，过点A作BC边上的高，垂足为点D，则BC的长为14或4．

Answer 1

分析 分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．

解答 解：①如图，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$BD．
在Rt△ABD中AB=15，AD=$\frac{4}{3}$BD，由勾股定理得：
BD²=AB²-（$\frac{4}{3}$BD）²=15²-（$\frac{4}{3}$BD）²，
∴BD=9，
∴AD=12．
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得
CD²=AC²-AD²=13²-12²=25，
∴CD=5，
∴BC的长为BD+DC=9+5=14；
②同理，钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：
BD²=AB²-AD²=15²-12²=81，
∴BD=9，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：
CD²=AC²-AD²=13²-12²=25，
∴CD=5，
∴BC的长为DC-BD=9-5=4．
故答案为：14或4．

点评 本题考查了解直角三角形，主要是应用三角函数定义来解直角三角形．