Question

18．如图，AC是正方形ABCD的对角线．点E为射线CB上一个动点（点E不与点C，B重合），连接AE，点F在直线AC上，且EF=AE．

（1）点E在线段CB上，如图1所示；
①若∠BAE=10°，求∠CEF的度数；
②用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点E在线段CB的延长线上；请你依题意补全图2，并直接写出线段CD，CE，CF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①利用正方形的性质结合三角形外角的性质得出∠1=∠F+∠CEF，进而得出答案；
②利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出△AEM≌△FEC（AAS），进而得出线段CD，CE，CF之间的数量关系；
（2）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出：△ABE≌△EMF（AAS），进而得出线段CD，CE，CF之间的数量关系．

解答 （1）①解：如图1所示，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=∠1=45°．
∵∠BAE=10°，
∴∠2=35°．
∵EF=AE，
∴∠F=∠2=35°，
∵∠1是△CEF的外角，
∴∠1=∠F+∠CEF．
∴45°=35°+∠CEF．
∴∠CEF=10°．

②线段CD，CE，CF之间的数量关系是：$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．
证明：∵∠BAE+∠2=45°，∠CEF+∠F=45°，
∴∠BAE=∠CEF．
方法一：如图2，过点E作ME⊥BC交AC于点M．
∵ME⊥BC，
∴AB∥ME，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1=∠BAC=45°，
则∠EMC=45°，
故∠AME=∠ECF=135°，
∵AE=EF，
∴∠2=∠F，
在△AEM和△FEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMA=∠ECF}\\{∠2=∠F}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FEC（AAS），
∴AM=FC．
∴FM=AC=$\sqrt{2}$CD．
∵FM=MC+CF，
∴MC+CF=$\sqrt{2}$CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

方法二：如图3，在AB上取点M，使AM=EC．
由方法一同理可得：△AEM≌△FEC，
∴FC=EM=$\sqrt{2}$BE．
∴EB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+CE=CB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+CE=CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

方法三：图4，延长BC，过点F作MF⊥BC，交BC的延长线于点M．
由方法一同理可得：△ABE≌△EMF，
∴BE=MF．
∵MF=CM，
∴BE=MF=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+CE=CB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+CE=CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

（2）解：如图5所示：线段CD，CE，CF之间的数量关系是：$\sqrt{2}$CD+CF=$\sqrt{2}$CE．
理由：过点F作FM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠FEC+∠ECF=∠EFA，
∠EAB+∠BAC=∠EAF，
∴∠FEC+45°=45°+∠EAB，
∴∠FEC=∠EAB，
在△ABE和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBA=∠FME}\\{∠BAE=∠MEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=FM，
∵MF=CM，
∴BE=MF=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+BC=CE，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+DC=CE．
∴$\sqrt{2}$CD+CF=$\sqrt{2}$CE．

点评 此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质和正方形的性质等知识，正确作出辅助线得出全等三角形是解题关键．