Question

设I是△ABC的内心，BC=AC+AI，∠ABC-∠ACB=12°，则∠BAC=

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：如图，作辅助线；证明BG=AI，此为解决该题的核心结论；证明∠BAC=2∠ABC，结合已知条件、三角形的内角和定理即可解决问题．

解答：解：如图，在BD上截取DG=AD，连接GI；
设点D、E、F分别为△ABC内切圆的切点，
则AD=AE（设为λ），BD=BF（设为μ），CE=CF（设为η）；
DI⊥AG；而AD=DG，
∴DI为AG的垂直平分线，
∴GI=AI；
∵BC=AC+AI，即μ+η=λ+η+AI，
∴μ-λ=AI，即BG=AI，
∴BG=GI=AI，
∴∠GBI=∠GIB（设为α），∠AGI=∠GAI（设为β）；
∵∠AGI=∠GBI+∠GIB=2α，
∴∠GAI=∠AGI=β=2α；
∵∠BAC=2β，∠ABC=2α，
∴∠BAC=2∠ABC，而∠ABC-∠ACB=12°，
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=96°，
故答案为96°．

点评：该题主要考查了三角形内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用内切圆的性质、切线长定理等几何知识点来分析、判断．