Question

【题目】某商家销售一种商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝30时，y＝500；当x＝35时，y＝450．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元/件，若该商品的定价为30元，实际按定价的8折出售，仍然可以获得20%的利润．

（1）求该商品的成本价和每天获得的最大利润；

（2）该公司每天需要人工、水电和房租支出共计b元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在8000元至8500元之间（包含8000和8500），求出b的取值范围；

（3）若该商品的进价改为a元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变，当30≤x≤48时，该商品利润随x的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）该商品的成本价为20元，每天获得的最大利润为8960元；（2）500≤b≤1000；（3）0≤a≤16．

【解析】

(1)根据利润=利润率×成本，总利润=单件利润×销售量列式计算即可；

(2)根据(1)所得总利润﹣b，控制在8000元至8500元之间，即可求出b的取值范围；

(3)根据二次函数的性质当30≤x≤48时，即在对称轴左侧，该商品利润随x的增大而增大，即可确定a的取值范围．

(1)设每天的销量y(件)与当天的销售单价x(元/件)满足的一次函数关系式为：

y=kx+b，

当x=30时，y=500；当x=35时，y=450代入得：

k=﹣10，b=800，

∴一次函数关系式为：y=﹣10x+800；

设该商品的成本价为a元，根据题意，得：

解得：a=20．

设每天获得的利润为w元，根据题意，得

∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/件，

即x≤48时，w随x的增大而增大，

∴当x=48时，w有最大值，最大值为8960．

答：该商品的成本价为20元，每天获得的最大利润为8960元；

(2)∵该公司每天需要人工、水电和房租支出共计b元，

最大利润要控制在8000元至8500元之间，

∴8000≤9000﹣b≤8500

∴500≤b≤1000．

(3)根据题意，得

w=(x﹣a)(﹣10x+800)

=﹣10x2+(800+10a)x﹣800a

∵当30≤x≤48时，该商品利润随x的增大而增大，

对称轴

∴≤48

解得：a≤16

∴a的取值范围是：0≤a≤16．