Question

如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E．设四边形BCFE的面积为S₁，四边形CDGF的面积为S₂，△AFG的面积为S₃．
（1）试判断S₁，S₂的关系，并加以证明；
（2）当S₃：S₂=1：3时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A′E′F′，且A′，F′两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4？若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）两者应该相等，由于四边形ADCB是矩形，那么对角线平分矩形的面积，同理OF也平分矩形AEFG的面积，由此就不难得出S₁=S₂了；
（2）S₃：S₂=S₃：S₁=1：3，也就能得出S_△AGF：S_△ADC=1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出OF：OC=1：2，即F为OC中点．由此可根据C、D的坐标直接求出F的坐标；
（3）由于A′F′始终在OC上，因此EE′所在的直线必平行于OC，可先求出直线EE′的解析式，然后根据E′横、纵坐标的比例关系来设出E′的坐标，代入直线EE′中即可求出E′的坐标．

解答：解：（1）S₁=S₂；
证明：∵FE⊥y轴，FG⊥x轴，∠BAD=90°，
∴四边形AEFG是矩形．
∴AE=GF，EF=AG．
∴S_△AEF=S_△AFG，
同理S_△ABC=S_△ACD．
∴S_△ABC-S_△AEF=S_△ACD-S_△AFG．
即S₁=S₂．

（2）∵FG∥CD，
∴△AFG∽△ACD．
∴

S3

S3+S2

=(

FG

CD

)2=(

AG

AD

)2=

1

1+3

=

1

4

．
∴FG=

1

2

CD，AG=

1

2

AD．
∵CD=BA=6，AD=BC=8，
∴FG=3，AG=4．
∴F（4，3）；

（3）∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的，且A′、F′两点始终在直线AC上，
∴点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动．
∵直线AC的解析式是y=

3

4

x，
∴直线L的解析式是y=

3

4

x+3．
设点E′为（x，y），
∵点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4，
∴|y|：|x|=5：4．
①当x、y为同号时，得

y= 5 4 x y= 3 4 x+3

解得

x=6 y=7.5

，
∴E′（6，

15

2

）；
②当x、y为异号时，得

y=- 5 4 x y= 3 4 x+3

解得

x=- 3 2 y= 15 8

，
∴E′（-

3

2

，

15

8

）．
∴存在满足条件的E′坐标分别是（6，

15

2

）、（-

3

2

，

15

8

）．

点评：本题主要考查了矩形的性质、图形面积的求法、一次函数的应用等知识点．要注意的是（3）题在不确定E′横、纵坐标的符号时，要分类讨论，不要漏解．