解:(1)△=4k
2-4(k-1)(k-2)=12k-8,
依题意,得
,
∴k的取值范围是
且k≠1,①
(2)解方程3x=kx-1,
得
,
∵方程3x=kx-1的解是负数,
∴3-k>0.
∴k<3,②
综合①②,可得k的取值范围是
且k≠1,k<3,再由k为整数,可得k=2,
∴抛物线解析式为y=x
2+4x.
(3)如图,设最大正方形ABCD的边长为m,则B、C两点的纵坐标为-m,
且由对称性可知:B、C两点关于抛物线对称轴对称,
∵抛物线的对称轴为:x=-2,
∴点C的坐标为(-2+
,-m),
∵C点在抛物线上,
∴
.
整理,得m
2+4m-16=0,
∴
(舍负)
∴
.
分析:(1)由抛物线y=(k-1)x
2+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点,根的判别式△>0,解得k的取值范围.
(2)当k为整数,且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时,可以解得k的整数值.
(3)设最大正方形ABCD的边长为m,则B、C两点的纵坐标为-m,且由对称性可知,B、C两点关于抛物线对称轴对称,求出点C的坐标,C点代入抛物线,解得m.
点评:本题二次函数的综合题,要求会求二次函数的解析式,会判定两图象交点个数和求抛物线对称轴,本题步骤有点多,做题需要细心.