Question

19．如图．四边形ABCD中，AC⊥BD．AC=BD=BC．BE平分∠DBC．CE平分∠ACB．F为BC中点．连接EF．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求证：AD=2EF．

Answer 1

分析 （1）由BE平分∠CBD、CE平分∠ACB知∠EBC=$\frac{1}{2}$∠HBC、∠ECB=$\frac{1}{2}$∠HCB，由∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB整理可得；
（2）延长EF至G、使FG=EF，则EG=2EF且四边形BECG是平行四边形，故BG=CE、∠EBG=∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=45°；延长CE交AB于K知∠BEK=45°，AC=BC，CE平分∠ACB得∠AEB=90°、AE=BE，同理∠CED=90°、CE=DE=BG，综合以上条件可证△ADE≌△EGB，可得AD=EG=2EF．

解答 解：（1）如图，

设AC、BD交于点H，
∵AC⊥BD，
∴∠BHC=90°，
∵BE平分∠CBD，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠HBC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠HCB，
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB
=180°-$\frac{1}{2}$（∠HBC+∠HCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BHC）
=90°+$\frac{1}{2}$∠BHC
=135°；
（2）证明：
延长EF至G，使FG=EF，则EG=2EF，
∵BF=CF，FG=EF，
∴四边形BECG是平行四边形，
∴BG=CE，∠BCE=∠CBG，
∴∠EBG=∠CBG+∠CBE=∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=45°，
延长CE交AB于点K，则∠BEK=180°-∠BEC=45°，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，
∴CK⊥AB，AK=BK，
∴∠AEB=90°，AE=BE，
同理，∠CED=90°，CE=DE=BG，
∴∠AED=360°-∠BEC-∠AEB-∠CED=45°=∠EBG，
在△ADE和△EGB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=EB}\\{∠AED=∠EGB}\\{DE=GB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△EGB（SAS），
∴AD=EG=2EF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线来构建全等的三角形，并且结合题意寻找全等的条件是关键．