Question

抛物线y=-

1

2

x²+x+

3

2

的顶点为P，与x轴交于A，B两个交点，与y轴交于点C，求以A，P，C，B为顶点的四边形的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设x=0，则能够求出y轴交点的坐标，设y=0，则能够求出和x轴交点的坐标，再用配方法求出其顶点的坐标，进而求出y轴交点、与x轴交点、及顶点的坐标连接而成的四边形的面积．将四边形ABPC的面积分成四部分求解，然后分别求出S_△ACO、S_梯形OFPC、S_△PFB的面积，根据S_{四边形ABPC}=S_△ACO+S_梯形COFP+S_△PFB进行计算即可．

解答：解：设x=0，则y=

3

2

，所以抛物线和y轴的交点C（0，

3

2

）；
设y=0，则y=-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得：x=-1或3，
所以抛物线和x轴交点的坐标为A（-1，0），B（3，0）；
因为y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
所以顶点的坐标为P（1，2），
所以与y轴交点、与x轴交点、及顶点的坐标连接而成的四边形的面积是：
S_{四边形ABPC}
=S_△ACO+S_梯形COFP+S_△PFB
=

1

2

×AO×OC+

OC+PF

2

×OF+

1

2

BF×PF
=

1

2

×1×

3

2

+

2+ 3 2

2

×1+

1

2

×2×2
=

9

2

，
即以A，P，C，B为顶点的四边形的面积是

9

2

．

点评：本题考查了求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标和y轴的交点是令x=0．