Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点

     E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

    （1）求证：BD=BF；

    （2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．

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Answer 1

（1）证明：连接OE，

              ∵AC与圆O相切，

              ∴OE⊥AC，

              ∵BC⊥AC，

              ∴OE∥BC，

              又∵O为DB的中点，

              ∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，

              ∴OE=BF，

               又∵OE=BD，

               则BF=BD；

（2）设BC=3x，根据题意得：AB=5x，

     又∵CF=1，

     ∴BF=3x+1，

      由（1）得：BD=BF，

     ∴BD=3x+1，

     ∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，

     ∵OE∥BF，

     ∴∠AOE=∠B，

     ∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，

       解得：x=，

       则圆O的半径为=．