Question

【题目】矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作，交x轴于点D．下列结论：①；②当点D运动到OA的中点处时，；③在运动过程中，是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据矩形的性质即可得到；故①正确；

②由点D为OA的中点，得到，根据勾股定理即可得到，故②正确；

③如图，过点P作于F，FP的延长线交BC于E，，则，根据三角函数的定义得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，故③正确；

④当为等腰三角形时，Ⅰ、，解直角三角形得到，

Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到，故不合题意舍去；

Ⅲ、，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到，故不合题意舍去；于是得到当为等腰三角形时，点D的坐标为．故④正确．

解：①∵四边形OABC是矩形，，

；故①正确；

②∵点D为OA的中点，

，

，故②正确；

③如图，过点P作 A于F，FP的延长线交BC于E，

，四边形OFEC是矩形，

，

设，则，

在中，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，故③正确；

④，四边形OABC是矩形，

，

，

，

当为等腰三角形时，

Ⅰ、

Ⅱ、

，

，故不合题意舍去；

Ⅲ、，

，

故不合题意舍去，

∴当为等腰三角形时，点D的坐标为．故④正确，

故选：D．