Question

11．阅读材料，回答问题
一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20$\sqrt{10}$海里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．
（1）若这艘轮船自A处按原速度和方向继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，说明理由；
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于北偏东60°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少（提高的船速取整数，$\sqrt{13}$≈3.6）？

Answer 1

分析 （1）首先表示出AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，再利用勾股定理得出t的值，进而得出答案；
（2）直接表示出FM=FA+AB-BM=130-40t，MD=20$\sqrt{10}$，进而利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，则有，
AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，EC=20$\sqrt{10}$，
在Rt△AEC中，AC²+AE²=EC²，
则（20t）²+（100-40t）²=（20$\sqrt{10}$）²，
整理得：t²-4t+3=0，
解得：t₁=1，t₂=3，
所以，途中将遇到台风，最初遇到台风的时间为1小时；

（2）设台风抵达D港为t小时，此时台风中心至M点，过D作DF⊥AB，垂足为F，
连接DM，
在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°，
则DF=30$\sqrt{3}$，FA=30，
∵FM=FA+AB-BM=130-40t，MD=20$\sqrt{10}$，
∴（30$\sqrt{3}$）²+（130-40t）²=（20$\sqrt{10}$）²，
整理得：4t²-26t+39=0，
解得：t₁=$\frac{13-\sqrt{13}}{4}$，t₂=$\frac{13+\sqrt{13}}{4}$，
∴台风抵达D港时间为：$\frac{13-\sqrt{13}}{4}$小时，
因轮船从A处用$\frac{13-\sqrt{13}}{4}$小时到达D港，其速度为：60÷$\frac{13-\sqrt{13}}{4}$≈25.5，
故为使台风抵达D港之前轮船到达D港，轮船至少应提速6海里/时．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用和勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．