Question

函数f（x）=λx²+（λ-3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数最值问题

专题：计算题

分析：根据函数有最值，首先判断出λ＜0，进而利用二次函数的最值得出f（x）的最大值，使这个最大值与f（λ）相等，解方程即可得出λ的值，进而代入求出f（x）最大值．

解答：解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，
又∵f（x）=λ（x+

λ-3

2λ

）²+1-

(λ-3)2

4λ

，
∴f（x）的最大值为1-

(λ-3)2

4λ

，
又∵f（x）≤f（λ），
∴f（λ）=λ³+（λ-3）λ+1=1-

(λ-3)2

4λ

，
解得：λ=1（舍去）或λ=-

3

2

，
将λ=-

3

2

，代入可得f（x）的最大值为

35

8

．
故答案为：

35

8

．

点评：此题考查了函数的最值问题，解答本题的关键是正确的表示出二次函数的最值，难点在于联立f（x）的最大值与f（λ）解高次方程，难度较大．