Question

如图，已知：⊙O₁与⊙O₂外切于点O，以直线O₁O₂为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O₁于点B，切⊙O₂于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O₂于点D，且OB：OD=1：3．
（1）求⊙O₂半径的长；
（2）求线段AB的解析式；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO₂P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）连接BO₁，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，连接OA，
∵直线AB切⊙O₁于点B，切⊙O₂于点A，交y轴于点C（0，2），
∴CA=CB，CA=CO（切线长定理），
∴CA=CB=CO，
∴AB=2OC=4，
设O₁B为r，由O₁O₂²-O₂N²=O₁N²得（4r）²-（2r）²=4²，
解得，3r=2，
答：⊙O₂的半径的长为．

（2）∵O₂N=3r-r=2r，O₁O₂=r+3r=4r，
∴∠NO₁O₂=30°，
∴∠CMO=∠NO₁O₂=30°，
∵OM==2，
M（-2，0），
设线段AB的解析式是y=kx+b，
把C、M的坐标代入得：，
解得：k=，b=2，
∴线段AB的解析式为y=x+2（-≤x≤）；

（3）△MOB是顶角为120°的等腰三角形，其底边的长为2，
假设满足条件的点P存在，
①∠MO₂P=30°，
过B作BQ⊥OM于Q，
∵OB=MB，
∴MQ=OQ=，
∵∠BMO=30°，
∴BQ=1，BM=2，
过P'作P'W⊥X轴于W，
∴P'W∥BQ，
∴==，
∴P'W=2，
即P'与C重合，
P'（0，2），
∴k==4；
②∠MO₂P=120°，
过P作PZ⊥X轴于Z，
PO₂=O₂M=4，∠PO₂Z=60°，
∴O₂Z=2，
由勾股定理得：PZ=6，
∴P（4，6），
∴k==12，
答在直线AB上存在点P，使△MO₂P与△MOB相似，点P的坐标是（0，2）或（4，6），k的值是4或12．
分析：（1）连接BO₁，DO₂，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，连接OA，根据切线长定理求出AB的长，设O₁B为r，根据勾股定理得到方程（4r）²-（2r）²=4²，求出方程的解即可；
（2）求出∠CMO=∠NO₁O₂=30°，求出OM，设AB的解析式是y=kx+b，把C、M的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）①∠MO₂P=30°，过B作BQ⊥OM于Q，求出MQ，BQ，过P'作P'W⊥X轴于W，根据相似三角形的性质求出PW即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可；②∠MO₂P=120°，过P作PZ⊥X轴于Z，根据含30度角的直角三角形性质求出PZ，即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可．
点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解一元一次方程等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．