分析 （1）先求出A、B的坐标，得出OA=3，OB=6，由S△ABC=2S△AOB ，得出AC=2OA=6；①当点C在点A的右边时，得出OC，即可得出点C坐标；
②当点C在点A的左边时，求出OC，即可得出点C坐标；
（2）由直线解析式得出E（$\frac{2}{k}$，0），D（$\frac{8}{k}$，0），由题意得出梯形OEDC的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{k}+\frac{8}{k}$）×6=$\frac{1}{2}$×15×6，即可求出k；
（3）过点P作AB的平行线，交CA的延长线于D，交x轴于M，作PE⊥AB于E，先证出四边形ADPE是矩形，得出AD=PE，求出A、B的坐标，得出OA、OB，由勾股定理求出AB，求出△ABC的面积，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，求出PE，得出AD、AM、OM，求出M的坐标，再求出直线PD的解析式，把点P（a，$\frac{1}{2}$）代入，即可求出a值．
解答 解：（1）∵y=2x-6，当y=0时，x=3；当x=0时，y=-6；
∴A（3，0），B（0，-6），
∴OA=3，OB=6，
∵S△ABC=2S△AOB ，
∴$\frac{1}{2}$AC•OB=2×$\frac{1}{2}$×OA•OB，
∴AC=2OA=6；
①当点C在点A的右边时，OC=3+6=9，
∴C（9，0）；
②当点C在点A的左边时，OC=6-3=3，
∴C（-3，0）；
综上所述：点C的坐标为：（9，0），或（-3，0）；
（2）∵y=kx-2，当y=0时，x=$\frac{2}{k}$；当y=6时，x=$\frac{8}{k}$；
∴E（$\frac{2}{k}$，0），D（$\frac{8}{k}$，0），
∵直线y=kx-2恰好将矩形OABC分为面积相等的两部分，
∴梯形OEDC的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{k}+\frac{8}{k}$）×6=$\frac{1}{2}$×15×6，
解得：k=$\frac{2}{3}$；
（3）过点P作AB的平行线，交CA的延长线于D，交x轴于M，作PE⊥AB于E，如图所示：
则∠AMD=∠BAO，PE∥AD，
∴四边形ADPE是矩形，
∴AD=PE，
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，当y=0时，x=$\sqrt{3}$，当x=0时，y=1，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，∠BAO=30°，
∴∠AMD=30°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AC=AB=2，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴△ABP的面积=$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$×2×PE=2，
∴PE=2，
∴AD=2，∴AM=2AD=4，
∴OM=4-$\sqrt{3}$，
∴M（$\sqrt{3}$-4，0），
设直线PD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把点M（$\sqrt{3}$-4，0）代入得：b=1-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
把点P（a，$\frac{1}{2}$）代入得：a=-4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题是一次函数综合题目，考查了图形与坐标性质、一次函数解析式的求法、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形和梯形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，（1）中，需要进行分类讨论，特别是（3）中，需要通过作辅助线，根据面积关系确定点的坐标和一次函数解析式才能得出结果．
阅读快车系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | $\sqrt{25}$=±5 | B． | ±$\sqrt{25}$=5 | C． | $\sqrt{{（{-5}）}^2}$=5 | D． | $\sqrt{{（{-3}）}^2}$=-3 |
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如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=$\frac{1}{2}$．查看答案和解析>>
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如图是由梯子A B和梯子AC搭成的脚手架，其中AB=AC=5米，∠α=70°．查看答案和解析>>
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如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD．答案不唯一．．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE=2，则AB的长为4．