Question

如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之和最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），
∴

- b 2a =1 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴二次函数y=ax²+bx+c的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在．
令y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴点A（-1，0），
∵点A与B关于x=1对称，
∴连接BC，则直线BC与直线x=1的交点即为P点，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴

b=-3 3k+b=0

，
解得：

b=-3 k=1

，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴点P的坐标为（1，-2）．