Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC，CF．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF=AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：

连接OC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AF，

∴∠D=90°，

∴∠ACB=∠D，

∵AC平分∠BAF，

∴∠BAC=∠CAD，

∴△ABC∽△ACD，

∴∠ABC=∠ACD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠ACD，

∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：∵AD=6，DE=8，

∴AE= =10，

∵OC∥AD，

∴∠OCE=∠ADE，

∴△OCE∽△ADE，

∴ ，

即 ，

∴r= ，

∴BE=10﹣ =

（3）解：过C作 CG⊥AE于G，

在△ACG与△ACD中，

，

∴△ACG≌△ACD，

∴AG=AD，CG=CD，

∵BC=CF，

在Rt△BCG与Rt△FCD中，

，

∴Rt△BCG≌Rt△FCD，

∴BG=FD，

∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，

即AF+2DF=AB．

【解析】（1）连接OC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D，根据角平分线的性质得到∠BAC=∠CAD，通过相似三角形得到∠ABC=∠ACD，等量代换得到∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AE= =10，根据相似三角形的性质得到 ，代入数据得到r= ，于是得到结论；（3）过C作 CG⊥AE于G，根据全等三角形的性质得到AG=AD，CG=CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性质得到BG=FD，等量代换即可得到结论．