Question

如图1，点O为直线AB上一点，射线OC⊥AB于O点，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处，斜边OE在射线OB上，直角顶点D在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OE在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线OD是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OD恰好平分∠AOC，则t的值为

 

（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使OD在∠AOC的内部，请探究：∠AOE与∠DOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：角的计算,角平分线的定义

专题：

分析：（1）先根据角平分线的性质得到，∠BOE=45°，于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°．进而求出∠COM与∠AOM的值，∠AOM≠∠COM．直线OD不平分∠AOC； 
（2）分OD与OD的延长线平分∠AOC两种情况；
（3）∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°．

解答：解：（1）直线OD不平分∠AOC．

理由如下：当OE平分∠BOC时，∠BOE=45°，
∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°．
而∠DOM=180°，∠BOC=90°．  
所以：∠COM=180°-90°-15°=75°．
∠AOM=90°-75°=15°．
∠AOM≠∠COM．
直线OD不平分∠AOC； 
（2）3或39；
延长DO，

∵∠AOC=90°，
当直线OD恰好平分角∠AOC，
∴∠AOM=∠COM=45°，
即逆时针旋转15°时DO延长线平分∠AOC，
由题意得，5t=15°
∴t=3，
当DO平分∠AOC，

∴∠DOA=45°
即逆时针旋转195°时DO平分∠AOC，
∴5t=195°，
∴t=39，
∴t=3或39；
（3）∠DOC-∠AOE=30°
∵∠DOE=60°，∠AOC=90°，
∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，
∴∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°，
所以∠AOM与∠DOC之间的数量关系为：∠DOC-∠AOE=30°．

点评：此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．