Question

【题目】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，请根据排列规律完成下列问题：

（1）填写下表：

图形序号	菱形个数（个）
①	3
②	7
③	________
④	________
……	……

（2）根据表中规律猜想，图n中菱形的个数_______（用含n的式子表示）；

（3）是否存在一个图形恰好由111个菱形组成？若存在，求出图的序号；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）③ 13，④ 21；（2）图n中菱形的个数（3）存在，是图⑩．

【解析】

（1）观察图形，数出图③、图④中菱形的个数；

（2）设图n中菱形的个数为an（n为正整数），观察图形，找出部分图形中菱形的个数，根据菱形个数的变化（分成上下两部分，根据两部分的变化）可找出变化规律“an=n2+n+1（n为正整数）”；

（3）由（2）的结论结合菱形的个数为111，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值（正整数值）即可得出结论．

（1）观察图形，可知：图③中有13个菱形，图④中有21个菱形．

故答案为：13；21．

（2）设图n中菱形的个数为an（n为正整数），

观察图形，可知：a1=3=1+2，a2=7=4+3，a3=13=9+4，a4=21=16+5，…，

∴an=n2+n+1（n为正整数）．

（3）依题意，得：n2+n+1=111，

解得：n1=-11（舍去），a2=10，

∴存在一个图形恰好由111个菱形组成，该图形的序号为⑩．