Question

5．如图（1），（2）所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B的坐标是（8，0），直线l过点A和点F，且l∥x轴，AF=3．动点M、N分别从点A、B同时出发，沿射线AO、线段BO向点O的方向运动，当动点N运动到点O时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）求证：△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤6．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当△PQW不为直角三角形，求x的取值范围．
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理可得$\frac{PW}{MN}$=$\frac{WQ}{FM}$=$\frac{PQ}{FN}$=$\frac{1}{2}$，由此根据相似三角形的判定方法即可证明．
（2）分三种情形讨论）①如图2中，当∠MFN=90°，可得∠PQW=90°，作NK⊥AF于K．②如图3中，当∠FMN=90°，可得∠PWQ=90°．③如图4中，当∠MNF=90°时，可得∠QPW=90°，作FK⊥OB于K．分别利用相似三角形的性质，列出方程求解即可解决问题．
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵P、W、Q分别是FM、FN、MN的中点，
∴FN=2PQ，FM=2WQ，MN=2PW，
∴$\frac{PW}{MN}$=$\frac{WQ}{FM}$=$\frac{PQ}{FN}$，
∴△FMN∽△QWP

（2）①如图2中，当∠MFN=90°，可得∠PQW=90°，作NK⊥AF于K．

由△AMF∽△KFN，得$\frac{AM}{KF}$=$\frac{AF}{NK}$，
∴$\frac{x}{5-x}$=$\frac{3}{6}$，
∴x=$\frac{5}{3}$．
②如图3中，当∠FMN=90°，可得∠PWQ=90°．

由△AMF∽△ONM，得$\frac{AM}{ON}$=$\frac{AF}{OM}$，
∴$\frac{x}{8-x}$=$\frac{3}{6-x}$，
整理得x²-9x+24=0，△＜0，无解，这种情形不存在．
③如图4中，当∠MNF=90°时，可得∠QPW=90°，作FK⊥OB于K．

由△MON∽△NKF，得$\frac{OM}{NK}$=$\frac{ON}{KF}$，
∴$\frac{6-x}{x-5}$=$\frac{8-x}{3}$，
整理得x²-16x+58=0，解得x=8±$\sqrt{6}$都不符合题意舍弃．
综上所述，x=$\frac{5}{3}$时，△PWQ是直角三角形．
当△PQW不为直角三角形，x的取值范围0≤x＜$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{3}$＜x≤6．

（3）在Rt△MON中，MN=$\sqrt{（6-x）^{2}+（8-x）^{2}}$=$\sqrt{2（x-7）^{2}+2}$，
∵2＞0，
∴x=7时，MN有最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查相似综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、二次函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考压轴题．