Question

如图，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，点C在这个二次函数的图象上，且∠ABC=90°，∠CAB=∠BAO，tan∠BAO=

1

2

．
（1）求点A的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先根据二次函数y=ax²+bx+2的y轴的交点B，确定出B点的坐标值（即可知线段OB的长）．再利用三角函数tan∠BAO=

OB

OA

=

1

2

，求得线段OA的长，进而确定出A点的坐标值．
（2）由（1）知A点的坐标值，再求得C点的坐标值，联立组成方程组即可解得a、b的值．要求C点的值，因而过点C作CD⊥y轴，垂足为D．首先证得Rt△CDB∽Rt△BOA，利用相似三角形的性质求得CD、DB的长，进而得到C点的坐标值．

解答：解：（1）二次函数y=ax²+bx+2的图象y轴的交点为B（0，2），（1分）
在Rt△AOB中，
∵OB=2，tan∠BAO=

OB

OA

=

1

2

，（1分）
∴OA=4，
∴点A的坐标（4，0）．（1分）

（2）过点C作CD⊥y轴，垂足为D，（1分）
∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90°，
∴∠CBD=180°-∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO．（1分）
∴△CDB∽△BOA，（1分）
∵∠CAB=∠BAO，
∴

CB

AB

=tan∠CAB=tan∠BAO=

1

2

，（1分）
∴

CD

BD

=

BD

OA

=

CB

AB

=

1

2

．（1分）
∵OB=2，
∴CD=1，BD=2，
∴OD=4．
∴C（1，4）．（1分）
∵点A、C在二次函数y=ax²+bx+2的图象上，
∴

0=16a+4b+2 4=a+b+2

（1分）
∴

a=- 5 6 b= 17 6 .

（1分）
∴二次函数解析式为y=-

5

6

x2+

17

6

x+2．（1分）

点评：本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识点．另外巧妙添加辅助线CD构造直角三角形，也是解题成功的一个关键因素；该题也是数形结合数学思想的典型题例．